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1.1 过滤器简介

电气滤波器​

电气滤波器是一种电路，用于拒绝电气信号中所有不需要的频率成分，仅允许所需频率通过。换句话说，滤波器是一种仅允许特定频率范围的电路。滤波器的主要应用领域包括音频均衡器以及输入信号需要进行条件处理的敏感电子设备。滤波器主要分为两大类：有源滤波器和无源滤波器。

滤波器与电容抗​

无源滤波器​

无源滤波器不包含任何放大元件，仅由电阻、电容和电感（无源元件）组成。这些滤波器不会从外部电源获取额外的功率。电容允许高频信号通过，而电感允许低频信号通过。同样，电感限制高频信号的流动，电容限制低频信号的流动。在这些滤波器中，输出信号的幅度总是小于输入信号的幅度。无源滤波器的增益总是小于1，这表明这些滤波器无法改善信号的增益。因此，滤波器的特性会受到负载阻抗的影响。这些滤波器可以在高达500 MHz的高频范围内工作。

有源滤波器​

有源滤波器包含放大元件，如运算放大器（Op - Amps）、晶体管和场效应晶体管（FETs）（有源元件），以及无源元件（电阻、电容和电感）。通过使用这些滤波器，我们可以克服无源滤波器的缺点。有源滤波器依赖于外部电源，因为它会放大输出信号。这些滤波器无需电感元件即可实现谐振频率，即输入阻抗和输出阻抗相互抵消。在后续年份中，设计了无电感滤波器。因为电感会消耗一定量的功率并产生杂散磁场。不仅存在这些问题，而且由于电感的存在，有源滤波器的尺寸也会增加。因此，由于这些原因，有源滤波器中电感的使用减少了。

有源滤波器的一些优点​

运算放大器、电阻、电容、晶体管和场效应晶体管的组合形成了一个集成电路，从而减小了滤波器的尺寸和重量。由于在闭环形式下可以轻松控制运算放大器的增益，因此输入信号不会受到限制。这些滤波器适用于巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和考尔滤波器。有源滤波器的主要缺点是工作频率范围较窄。在许多应用中，有源滤波器的工作频率范围仅能达到500 kHz。有源滤波器需要直流电源。与无源滤波器相比，这些有源滤波器更加敏感。即使环境发生变化，输出也可能受到干扰。

滤波器是一种敏感电路，其输出分量仅为频率项。为了分析滤波器电路，频率域表示法是最佳选择。该表示法如下所示。

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滤波器的幅度 MM 称为滤波器的增益。幅度通常以分贝（dB）表示，即 20log⁡(M)20\log (M)。

滤波器的一个重要特性是截止频率。它被定义为在频率响应中分隔通带和阻带的频率。通带是滤波器允许通过而不衰减的频率范围。阻带被定义为滤波器不允许通过的频率范围。

根据允许通过的信号频率，滤波器被分类为四种类型：低通滤波器、带通滤波器、高通滤波器和带阻滤波器。由于使用了高速运算放大器和元件的近似值，理想响应和实际响应的特性几乎相等。

低通滤波器​

低通滤波器将允许频率低于截止频率 fcf_c 的信号通过。实际上，即使在截止频率范围之后，也会有一小部分频率通过。滤波器的增益取决于频率。如果输入信号频率增加，则滤波器的增益减小。在转换带的末端，增益变为零。如下图所示。

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其中，虚线表示理想滤波器特性，实线表示实际滤波器特性。

低通滤波器的应用包括音响系统中的各种扬声器。为了阻断谐波发射，这些低通滤波器被用于无线电发射机。它们还被用于电话用户线中的DSL分离器。

高通滤波器​

它们将在截止频率 fcf_c 之后的频率通过。在实际情况下，滤波器会允许一小部分低于截止范围的频率通过。如下图所示。

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高通滤波器与低通滤波器的组合形成了带通滤波器。高通滤波器的应用包括射频电路，还被用于DSL分离器。

带通滤波器​

顾名思义，这种滤波器仅允许特定频带的频率通过，而阻断所有其他频率。带通滤波器的上下限取决于滤波器的设计。带通滤波器的实际和理想特性如下图所示。

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带通滤波器的应用包括发射机和接收机电路。它们主要用于计算接收机电路的灵敏度，并优化信噪比。

带阻滤波器​

这些滤波器也被称为带阻滤波器或带消除滤波器。这些滤波器仅阻断特定频带的频率，而允许所有其他频率通过。滤波器的频率限制取决于滤波器的设计。虚线表示理想情况，实线表示实际情况。它有两个通带和一个阻带。

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带阻滤波器的应用包括仪器放大器。

理想滤波器的频率响应​

现在我们来看不同滤波器的理想响应。其中， fLf_L 表示下截止频率， fHf_H 表示上截止频率。

理想低通滤波器特性​

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该响应表明，低通滤波器将允许低于下截止频率的信号通过，并阻断高于下截止频率的频率。

理想高通滤波器特性​

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这表明高通滤波器将允许高于上截止频率的频率通过，并阻断低于上截止频率的频率。

理想带通滤波器特性​

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该响应表明，带通滤波器仅允许在下截止频率和上截止频率之间的频率通过。它阻断低于下截止频率的频率，以及高于上截止频率的频率。

理想带阻滤波器特性​

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上图表明，大于下截止频率且小于上截止频率的频率不会被处理。

电容抗​

当电阻与电容串联时，就形成了RC电路。在RC电路中，电容会从直流电源电压充电，当电源电压降低时，电容也会通过减少其存储的电荷来放电。不仅在直流电源的情况下，在交流电源的情况下，电容也会根据电源电压水平持续充电和放电。

但由于内部电阻的存在，电流通过电容时会有一些衰减。这种内部电阻被称为电容抗。 XCX_C 表示电容抗，其单位与电阻相同，均为欧姆（Ω）。

当在电容电路中改变频率时，根据频率的变化量，电容抗值也会改变。电子从一个极板流向另一个极板，从而在电路中产生电流。但由于电子的运动，频率水平会发生变化。当通过电容的频率增加时，电容抗值减小；当通过电容的频率降低时，电容抗值增加。因此，可以说电容抗与施加的频率水平成反比。这表明连接在电路中的电容依赖于电源频率。这种现象被称为复阻抗。

电容抗公式​

Xc=12πfcX_c = \frac{1}{2\pi f c}
其中 XcX_c 为电容抗， π\pi = 3.142， ff 为频率（单位：赫兹）， cc 为电容（单位：法拉）。

电容抗示例​

让我们考虑两个频率来观察电容抗现象。假设 f1=1kHzf_1 = 1 \text{kHz} 和 f2=10kHzf_2 = 10 \text{kHz}，电容 c=220nFc = 220 \text{nF}。

在第一个频率水平下：

XC=12πf1c=723.4 ΩX_C = \frac{1}{2\pi f_1 c} = 723.4 \, \Omega

在第二个频率水平下：

XC=12πf2c=72.34 ΩX_C = \frac{1}{2\pi f_2 c} = 72.34 \, \Omega

这清楚地表明，随着频率的增加，电抗减小。

电容抗与频率的关系​

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从频率与电容抗的曲线图中可以观察到，当频率为零时，电容抗值趋于无穷大，这表现出开路的现象。当频率呈指数增长时，电容抗值会减小。当频率趋于无穷大时，电容抗值接近于零，这表现出短路的特性。

电压分配器概念​

我们已经在电阻部分学习了电压分配器的概念，知道电压分配器电路能够产生一个输入电压的分压值作为输出电压。

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VOUT=VIN×R2(R1+R2)V_{\text{OUT}} = V_{\text{IN}} \times \frac{R_2}{(R_1 + R_2)}

通过将上述电路中的电阻 R2R_2 替换为电容 CC，由于电容的阻抗会随着频率变化，因此两个元件上的电压降会随着输入频率的变化而变化。现在，电容两端的输出电压取决于输入频率。利用这一概念，我们可以通过在电压分配器电路中用一个电容替换其中一个电阻来构建无源低通和高通滤波器。

低通滤波器中的电容行为​

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对于低通滤波器，电阻 R2R_2 被电容 C1C_1 替换。在正常频率下，电路如上图所示。当频率为零时，电容的阻抗值非常高，接近无穷大。在这种情况下，电路表现为开路。当频率非常高时，电容的阻抗值接近零，电路表现为短路。这两种行为都已在上图中展示。

高通滤波器中的电容行为​

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对于高通滤波器，电阻 R1R_1 被电容 C1C_1 替换。从上图可以看出，在正常频率下，电路表现为高通滤波器。最初，在频率为零时，电路表现为开路。随着频率的增加，电容的阻抗呈指数下降。在某个时刻，频率达到无穷大，从而使电容的阻抗接近零。这些电路行为已在上图中展示。